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Archive for the ‘Matemáticas’ Category

Si se ignora la última sílaba, las décimas con versos endecasílabos pueden ser vistas como matrices cuadradas de dimensión diez por diez. Esto sugiere las siguientes definiciones:

Una décima diagonal es una décima con versos endecasílabos cuya diagonal silábica contiene un verso adicional. (Es decir que si se une la primera sílaba de la primera línea con la segunda sílaba de la segunda línea, y así sucesivamente, hasta llegar a la décima sílaba de la décima línea, se produce un nuevo verso). He aquí una décima diagonal de Mael Aglaia.

Una décima triangular izquierda es una décima diagonal cuyas letras iniciales forman un acróstico vertical. (Podría pedirse que las primeras sílabas formaran otro verso adicional, pero eso me parece demasiado). Llegué a esta definición gracias a un intercambio con @neumara. De momento, no hay ejemplo de décima triangular izquierda.

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París

En su muy buen ensayo Literature and Mathematics, publicado en el último número de Asymptote Journal, Masahiko Fujiwara explora el muro magnético que separa a las dos disciplinas. Hacer matemáticas, explica Fujiwara, involucra a veces atacar de mil y una maneras un problema que no cede ni un milímetro, para de súbito encontrar la solución tras varios meses. En cambio, hacer literatura es un proceso hecho de pequeñas victorias incrementales: aun cuando se pase una cantidad considerable de tiempo editando o tirando papeles a la basura, las ideas van entrelazándose, y quien no se desespera, progresa.

Quiso el destino que yo resolviera el problema central de mi tesis de doctorado en el metro de París. Había salido de Jussieu a eso de las siete de la noche, exhausto pero acelerado por la cafeína, y decidí ir a cenar a algún restaurante de Le Marais, mi barrio favorito de turno. Recuerdo que había sido un día como cualquier otro: desayuné croissant y un espresso; trabajé en el problema central de mi tesis de ocho a diez de la mañana; participé con desgano en el coffee break ritual de los analistas de París 6; trabajé otra hora y media en el problema; al mediodía, comí ejotes verdes y pescado en la cafetería (y bebí más café); me reuní con Yves Raynaud, quien me dio las mismas sugerencias que el día anterior; dediqué un par de horas a escribir la introducción de la tesis (¡vaya deshonestidad escribir la introducción a una tesis aún incompleta!); participé en el segundo coffee break de los analistas; y luego volví a abismarme en el problema que había venido a París a investigar, hasta que dieron las siete y el hambre pudo más.

Sucedió pocos segundos antes de llegar a la estación de St-Paul. Una idea fue abriéndose camino en mi conciencia, echando a un lado a las otras ideas —las ideas inteligentes y respetables que me habían venido acompañando durante meses—, y de repente me di cuenta de que sonreía, de que estaba convencido, absolutamente convencido, de que esta vez sí, el problema había caído. Y lo que me dio esa certeza tan extraordinaria fue la belleza de la nueva idea. Todos los detalles que ordinariamente me habrían preocupado me parecieron insignificantes, porque la idea era tan robusta estructuralmente, tan equilibrada, que todos los detalles tenían su lugar en ella. El pudor hizo que reprimiera un tanto la sonrisa. No fue sino hasta que salí de la estación que estalló la felicidad.

No sentí necesidad de escribir una sola línea. No me dio pánico que la idea se me fuera de la cabeza. Simplemente caminé unas cuantas cuadras —quién sabe cuántas— y decidí entrar a un pequeño restaurante judío a celebrar, a solas, el triunfo más solitario.

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Cada cierto tiempo nos toca ir a las urnas electorales, donde tras hacer la cola o tener la buena fortuna de no hacerla, votamos, es decir, seleccionamos a uno entre varios candidatos. Tan enraizada en nuestra concepción de la democracia está esa periódica rutina, que muy pocos entre nosotros sospechan lo problemática que resulta, desde un punto de vista matemático, la idea prevalente de que votar y seleccionar a uno entre varios candidatos son exactamente la misma cosa.

Es fácil, sin embargo, imaginar otros sistemas de votación. En los más interesantes, el votante ordena sus preferencias de mayor a menor. Por ejemplo, en las elecciones presidenciales recientes en México, alguien podría haber votado Vázquez-AMLO-Quadri-Peña. La ventaja de un voto como éste es que nos proporciona más información acerca de las preferencias del votante. Se trata de alguien que habría votado por Vázquez en el sistema habitual, pero que prefiere tener como presidente a AMLO que a Peña. El sistema habitual no permite registrar las preferencias de los votantes, sino que se empeña en registrar únicamente una de dichas preferencias, la de quién ocupa el primer puesto en una lista ordenada como la de nuestro votante ficticio, ¿y no sería mejor tener un sistema de votación que registre las preferencias de todos los votantes? La respuesta depende, naturalmente, del mecanismo que se utilice para adjudicar puntos a los candidatos.

Pese a lo que sigue es válido para cualquier número de candidatos, supondremos, para hacer las cosas lo más simple posibles, que sólo hay cuatro candidatos. En 1770, el matemático francés Jean-Charles de Borda inventó lo que ahora se denomina como el método de Borda: cada vez que un candidato aparece en primer lugar en una papeleta, éste recibe tres puntos, cada vez que aparece en segundo lugar recibe dos puntos, y cada vez que aparece en tercer lugar recibe un punto. El ganador es quien al fin tiene más puntos. En 1871, el arquitecto norteamericano William Robert Ware diseñó otro método, el de tandas instantáneas: una vez en posesión de todas las papeletas, se elimina al candidato con la menor cantidad de primeros lugares; sin embargo, las preferencias de las papeletas que habían situado al candidato eliminado en primer lugar no son ignoradas: sus votos son transferidos a los candidatos en segundo lugar en dichas papeletas. Luego se repite el procedimiento cuantas veces sea necesario hasta que quede solamente un candidato. (En la práctica, evidentemente, el método de tandas instantáneas sólo podría ser implementado en elecciones nacionales si las papeletas son electrónicas y si el software es impecable).

El método de Borda es utilizado en los Estados Unidos en la selección del jugador más valioso de las ligas profesionales de béisbol. El método de tandas instantáneas vio su momento de mayor fama en 1990, cuando las elecciones presidenciales de Irlanda, decididas por ese método, produjeron un resultado distinto al que el sistema habitual hubiera producido. En dichas elecciones había tres candidatos: Mary Robinson, del Labour Party, Brian Lenihan, de Fianna Fáil, y Austin Currie, del Fine Gael. Lenihan obtuvo la mayor cantidad de primeros lugares y Austin Currie fue eliminado en la primera tanda. Sin embargo, como el ochenta y cinco por ciento de las papeletas que favorecían a Currie tenían a Robinson en segunda posición, Robinson terminó con más votos que Lenihan una vez eliminado Currie.

Hay un número considerable de sistemas de votación, algunos mucho más sofisticados que los que he descrito aquí. Según los criterios tradicionales de la teoría matemática de las votaciones, ninguno de dichos sistemas es perfecto. Kenneth Arrow recibió el premio Nóbel en economía en 1972 precisamente por demostrar este hecho a primeras luces un tanto deprimente. Para la mala fortuna de matemáticos y ciudadanos, toda discusión de la teoría de las votaciones comienza y termina con ejemplos de ciertas perplejidades matemáticas que ofuscan más de lo que aclaran. En tal situación, naturalmente, es difícil convencer a los ciudadanos de que sería sumamente provechoso cambiar de sistema de votación. Y sin embargo, el consenso de los expertos es éste: de todos los sistemas de votación razonables, el habitual es el peor, y por mucho. Pese a que las razones matemáticas están fuera del alcance de muchos lectores, la intuición tendría que ser suficiente para convencerlos: si se registran únicamente los primeros lugares en las listas de preferencias de los votantes, se obtiene un retrato sumamente parcial de las preferencias agregadas de la población.

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A fines del 2009, en el blog de Tim Gowers, el matemático Barry Cunningham trajo a colación un supuesto error matemático de Borges, error que él detectara en alguna traducción al inglés de El Aleph en que aparece la siguiente acotación acerca del símbolo que da nombre al cuento: “… it is the symbol of transfinite numbers, of which any part is as great as the whole”. (En español: “… es el símbolo de los números transfinitos, de los cuales cualquier parte es tan grande como el todo”). Al leer esto, inmediatamente supuse que había un error de traducción. No me parecía posible que Borges hubiera escrito semejante cosa.  Y, en efecto, he aquí el original: “… es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”.  Traduttore, traditore.  En efecto, cualquier número transfinito tiene el mismo tamaño que algunas de sus partes, y no, no es verdad que todas las partes tengan el mismo tamaño que el todo.

Según la perspectiva tradicional de las matemáticas contemporáneas, dos conjuntos tienen el mismo tamaño si existe una correspondencia biyectiva entre ellos, es decir, si existe una forma de hacer que los elementos del primer conjunto correspondan, uno a uno, exactamente con los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números pares tienen el mismo tamaño, pues la función descrita por la regla f(n) = 2n es una correspondencia biyectiva entre los dos conjuntos. Si retomamos la metáfora del traductor, dicha correspondencia hace las de un diccionario perfecto entre los dos conjuntos; no hay rastro de ambigüedad.

Esta forma de concebir el tamaño de los conjuntos se cimentó con el trabajo del matemático alemán Georg Cantor, quien demostró que no existe ninguna correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números naturales. Cantor también demostró, mediante una generalización de su propio argumento, que hay una infinidad de tamaños para los conjuntos infinitos. El ingenioso método que Cantor empleó se convirtió en modelo de muchos otros argumentos, incluido el que llevó a Kurt Gödel a demostrar su célebre e incomprendido Teorema de Incompletitud.

Gracias al trabajo de Cantor, hoy en día sabemos que un conjunto es infinito si tiene el mismo tamaño que alguna de sus partes, justamente como lo formuló Borges. Lejos de ser una coincidencia, ello es el resultado de una lectura minuciosa que Borges hiciera del tratado seminal de Cantor. De ahí su finísimo tratamiento de las paradojas del infinito. Lo verdaderamente asombroso es que, sin el beneficio de una educación formal en las matemáticas, Borges adquirió un entendimiento tan acertado del infinito que, tras el escrutinio crítico de un matemático profesional interesado en su literatura, fue el matemático quien, como se verá a continuación, se confundió.

En el buen libro The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, escrito por el matemático William Goldbloom Bloch, se endilga a Borges un error un tanto más sutil. En El libro de arena, Borges describe las páginas del libro central del cuento como infinitamente delgadas. Goldbloom Bloch argumenta que si las páginas son infinitamente delgadas, aún y cuando haya infinitas páginas, el libro mismo tendría que ser infinitamente delgado.

In nonstandard analysis, there are infinitely many hyperreal infinitesimals clustered around 0, every one samller than any positive real number. Each signifies an infinitely small distance. We may simply assign any infinitesimal we wish to each page of the Book. By the rules of nonstandard analysis, we compute the thickness of the Book by adding together all of the infinitesimals. For a summation such as this one, adding the infinite number of infinitesimals produces yet another infinitesimal, so the Book is, again, infinitely thin: never to be seen, never to be found, never to be opened.

Sí, es cierto que el análisis no estándar nos permite calcular el grosor del libro de arena, que para ello basta con sumar la totalidad de los grosores de las páginas del libro, y que ello corresponde, en la mejor interpretación posible, a realizar una suma de un número infinito de infinitesimales (números mayores que 0 pero menores que cualquier número real positivo). Sin embargo, una suma infinita de números infinitesimales no es necesariamente un número infinitesimal.  Imaginemos que N es un número infinitamente grande. Entonces, naturalmente, 1/N es un número infinitesimal, pues, siendo mayor que 0, es, sin embargo, más chico que cualquier número real positivo.  Ahora, imaginemos que cada página en el libro de arena tiene grosor 1/N, y que el número de páginas en el libro es N. Si se suma 1/N un total de N veces, el resultado es lo que nuestro lector espera: 1.

Razonar sobre infinitesimales es complicado, y es posible que Goldbloch Bloom se haya convencido de que, como los infinitesimales están todos aglutinados en una región de longitud infinitesimal (todos ellos muy cerca de 0), al identificarlos con los grosores de las páginas del libro de arena uno podía ver claramente que el libro tenía que ser infinitamente delgado.  Dicha intuición es errónea.  Es preciso sumar esos grosores, y cuando uno suma un número infinito de cantidades infinitesimales puede ocurrir cualquier cosa. En particular, puede muy bien ser el caso que el libro tenga un grosor estándar, tal y como Borges intuyó.

Quiero dejar constancia de que el libro de Goldbloom Bloch me parece muy recomendable, pese al error en que aquí reparo.

Nota: He aquí un enlace a una traducción al inglés de El Aleph que comete el error que Barry Cunningham identificó.

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