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Archive for 26 febrero 2012

A fines del 2009, en el blog de Tim Gowers, el matemático Barry Cunningham trajo a colación un supuesto error matemático de Borges, error que él detectara en alguna traducción al inglés de El Aleph en que aparece la siguiente acotación acerca del símbolo que da nombre al cuento: “… it is the symbol of transfinite numbers, of which any part is as great as the whole”. (En español: “… es el símbolo de los números transfinitos, de los cuales cualquier parte es tan grande como el todo”). Al leer esto, inmediatamente supuse que había un error de traducción. No me parecía posible que Borges hubiera escrito semejante cosa.  Y, en efecto, he aquí el original: “… es el símbolo de los números transfinitos, en los que el todo no es mayor que alguna de las partes”.  Traduttore, traditore.  En efecto, cualquier número transfinito tiene el mismo tamaño que algunas de sus partes, y no, no es verdad que todas las partes tengan el mismo tamaño que el todo.

Según la perspectiva tradicional de las matemáticas contemporáneas, dos conjuntos tienen el mismo tamaño si existe una correspondencia biyectiva entre ellos, es decir, si existe una forma de hacer que los elementos del primer conjunto correspondan, uno a uno, exactamente con los elementos del segundo conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números pares tienen el mismo tamaño, pues la función descrita por la regla f(n) = 2n es una correspondencia biyectiva entre los dos conjuntos. Si retomamos la metáfora del traductor, dicha correspondencia hace las de un diccionario perfecto entre los dos conjuntos; no hay rastro de ambigüedad.

Esta forma de concebir el tamaño de los conjuntos se cimentó con el trabajo del matemático alemán Georg Cantor, quien demostró que no existe ninguna correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y el conjunto de los números naturales. Cantor también demostró, mediante una generalización de su propio argumento, que hay una infinidad de tamaños para los conjuntos infinitos. El ingenioso método que Cantor empleó se convirtió en modelo de muchos otros argumentos, incluido el que llevó a Kurt Gödel a demostrar su célebre e incomprendido Teorema de Incompletitud.

Gracias al trabajo de Cantor, hoy en día sabemos que un conjunto es infinito si tiene el mismo tamaño que alguna de sus partes, justamente como lo formuló Borges. Lejos de ser una coincidencia, ello es el resultado de una lectura minuciosa que Borges hiciera del tratado seminal de Cantor. De ahí su finísimo tratamiento de las paradojas del infinito. Lo verdaderamente asombroso es que, sin el beneficio de una educación formal en las matemáticas, Borges adquirió un entendimiento tan acertado del infinito que, tras el escrutinio crítico de un matemático profesional interesado en su literatura, fue el matemático quien, como se verá a continuación, se confundió.

En el buen libro The Unimaginable Mathematics of Borges’ Library of Babel, escrito por el matemático William Goldbloom Bloch, se endilga a Borges un error un tanto más sutil. En El libro de arena, Borges describe las páginas del libro central del cuento como infinitamente delgadas. Goldbloom Bloch argumenta que si las páginas son infinitamente delgadas, aún y cuando haya infinitas páginas, el libro mismo tendría que ser infinitamente delgado.

In nonstandard analysis, there are infinitely many hyperreal infinitesimals clustered around 0, every one samller than any positive real number. Each signifies an infinitely small distance. We may simply assign any infinitesimal we wish to each page of the Book. By the rules of nonstandard analysis, we compute the thickness of the Book by adding together all of the infinitesimals. For a summation such as this one, adding the infinite number of infinitesimals produces yet another infinitesimal, so the Book is, again, infinitely thin: never to be seen, never to be found, never to be opened.

Sí, es cierto que el análisis no estándar nos permite calcular el grosor del libro de arena, que para ello basta con sumar la totalidad de los grosores de las páginas del libro, y que ello corresponde, en la mejor interpretación posible, a realizar una suma de un número infinito de infinitesimales (números mayores que 0 pero menores que cualquier número real positivo). Sin embargo, una suma infinita de números infinitesimales no es necesariamente un número infinitesimal.  Imaginemos que N es un número infinitamente grande. Entonces, naturalmente, 1/N es un número infinitesimal, pues, siendo mayor que 0, es, sin embargo, más chico que cualquier número real positivo.  Ahora, imaginemos que cada página en el libro de arena tiene grosor 1/N, y que el número de páginas en el libro es N. Si se suma 1/N un total de N veces, el resultado es lo que nuestro lector espera: 1.

Razonar sobre infinitesimales es complicado, y es posible que Goldbloch Bloom se haya convencido de que, como los infinitesimales están todos aglutinados en una región de longitud infinitesimal (todos ellos muy cerca de 0), al identificarlos con los grosores de las páginas del libro de arena uno podía ver claramente que el libro tenía que ser infinitamente delgado.  Dicha intuición es errónea.  Es preciso sumar esos grosores, y cuando uno suma un número infinito de cantidades infinitesimales puede ocurrir cualquier cosa. En particular, puede muy bien ser el caso que el libro tenga un grosor estándar, tal y como Borges intuyó.

Quiero dejar constancia de que el libro de Goldbloom Bloch me parece muy recomendable, pese al error en que aquí reparo.

Nota: He aquí un enlace a una traducción al inglés de El Aleph que comete el error que Barry Cunningham identificó.

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De Pasmos Posmos

El giro lingüístico de la filosofía del siglo XX dio lugar a diversas formas de abordar el problema de la vaguedad del lenguaje. Una de ellas, el pensamiento posmoderno, atento al poder simbólico del discurso público, adoptó un instrumento de crítica, la deconstrucción, que busca poner en evidencia el artificio de poder que da sustento a la construcción de verdades y argumentos convencionales. Por ejemplo, Jacques Derrida alegó que la distinción binaria tradicional entre apariencia y esencia es un artificio: al fin de cuentas, en toda concepción de esencia subyacen, inmanentes, las apariencias que permiten dicha concepción.

Por el otro lado, la filosofía analítica, más directamente ocupada con el lenguaje, y menos con las estructuras de poder contextuales, desarrolló instrumentos para estudiar el fenómeno lingüístico de la vaguedad. Un término es vago cuando está sujeto a alguna versión de la paradoja sorites de la misma forma en que el predicado “montón” lo está a la misma. Según la paradoja, como un grano no es un montón, y como añadir un grano no puede dar como resultado un montón, no pueden existir los montones. Los términos vagos son, por supuesto, abundantes. Un hombre puede ser o no gordo, por ejemplo, y si no es gordo, subir de peso una décima de kilo no lo va a convertir súbitamente en gordo. Y aunque estos ejemplos traten de conceptos que se pueden ordenar, mediante una variable cuantificable, en una línea que va de menos a más, no es necesario que esto sea el caso para que un concepto sea vago.

En un reciente ensayo de Vivian Abenshushan y Luigi Amara titulado “Del plagio como una de las bellas artes”, los autores deambulan el espectro del concepto de plagio, un concepto evidentemente vago, y si bien no concluyen que el plagio literario no existe, se acercan a ello. El argumento del ensayo, enriquecido por la discusión que Amara ha sostenido en comentarios al blog de Aurelio Asiain, revela una preocupación seria con las dinámicas de poder que, en última instancia, deciden si algo es o no un plagio. También hay dejos de deconstrucción en el ensayo, toda vez que la disyuntiva binaria entre originalidad y plagio se ve subvertida vía la observación de que, en muchas ocasiones, la intertextualidad velada, la cita escondida, y algunos artificios que colindan con el plagio, enriquecen el valor literario de un texto.

En alguna compañía de Sillicon Valley, en estos instantes, algún joven está ponderando un problema como el siguiente:

Suponga que un vaso lleno de agua está colocado sobre la superficie de un tocadiscos en descanso, y que luego comenzamos a girar el disco cada vez más rápido. ¿Qué pasará primero: se deslizará el vaso, se caerá el vaso, o se derramará el agua?

Pese a que los términos del problema están muy bien planteados, aún hay sitio para la vaguedad. (¿Está el vaso lleno de agua, medio lleno, o qué?) Es ilustrativo pensar en cómo enfrentaría un problema de estos alguien buscando empleo en la compañía. Lo procedente sería investigar los casos extremos: en un mundo sin fricción, el vaso ni se movería; si el vaso fuera de una pieza con el tocadiscos, no habría deslizamiento ni caída de vaso; en un mundo como el nuestro, con cierta fuerza de fricción activa en el fenómeno, nos hemos de preguntar cuán lleno de agua está el vaso: si lleno, seguro se derrama el agua primero, y si no está a tope, entonces distinguimos entre un vaso alto y delgado, con centro de masa elevado, y un vaso con centro de masa más cercano a la superficie del disco.

El análisis de estos casos, todos ellos de una forma u otra extremos en su contexto, nuestro joven hipotético va ganando puntos. Es evidente que razona de forma lúcida, que no se atora en los casos difíciles, y que logra poner un cierto orden en las cosas, así dicho orden sea inevitablemente vago.

El contraste entre esta actitud, la del enfoque selectivo en los casos extremos de nuestro experimento mental, y la actitud posmoderna con su enfoque selectivo en los casos que permiten intentar transgredir fronteras conceptuales, es iluminador. No en balde el posmodernismo surgió como un intento por criticar los hábitos analíticos de las ciencias naturales.

El enfoque selectivo de los casos fronterizos le permite al pensador posmoderno habitar un sub-universo del experimento mental en el que aún persisten las distintas variables del problema original, y es desde ahí que genera argumentos para evidenciar que las verdades convencionales y los argumentos tradicionales están construidos sobre la base del poder simbólico. Pero en casos como el de nuestro experimento mental, el enfoque selectivo de los casos fronterizos simplemente pone en evidencia las limitaciones del método.

El concepto de plagio literario no es siniestramente distinto de los demás conceptos difusos que utilizamos con comodidad todos los días.  Si bien es sensato preocuparnos por las dinámicas de poder que pueden producir injusticias a la hora de cotejar acusaciones de plagio, el pensar en los casos extremos nos permite ver que no tiene mayor sentido abandonar el concepto.

Uno de los problemas graves de la deconstrucción como método es que, usualmente esclavizada por el estudio de casos limítrofes, y eternamente interesada (en la práctica) en “desmantelar la casa del amo”, pierde de vista que el poner en evidencia la vaguedad de una distinción binaria no es razón suficiente para abandonar la distinción. Nomás pregúntenle a los filósofos analíticos.

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